CBMS-2024B-08

题目来源：Question 8 日期：2024-08-04 题目主题：Math-线性代数-特征值与特征向量

解题思路

这道题目综合考察了特征值、特征向量、矩阵对角化和矩阵幂运算等线性代数的重要概念。解题的关键在于理解特征值和特征向量的性质，以及它们在矩阵运算中的应用。题目从简单到复杂，逐步深入，需要灵活运用所学知识。

1. 第一问考察 ${\mathbf{A}}^2$ 的特征值和特征向量，需要理解矩阵幂运算对特征值和特征向量的影响。
2. 第二问涉及矩阵对角化的条件和过程，需要理解特征向量矩阵的作用。
3. 第三问要求具体计算一个给定矩阵的特征值和特征向量，这是基础但重要的技能。
4. 第四和第五问结合了前面的知识，考察对特征值最大值的理解和矩阵变换的应用。
5. 最后一问是对矩阵幂运算的综合应用，需要利用对角化简化计算。

Solution

1. Eigenvalues and eigenvectors of ${\mathbf{A}}^2$

Let’s consider the eigenvalue equation for ${\mathbf{A}}^2$:

${\mathbf{A}}^2\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

If ${\alpha }_i$ is an eigenvector of $\mathbf{A}$ with eigenvalue ${\lambda }_i$, then:

${\mathbf{A}}^2{\alpha }_i=\mathbf{A}(\mathbf{A}{\alpha }_i)=\mathbf{A}({\lambda }_i{\alpha }_i)={\lambda }_i(\mathbf{A}{\alpha }_i)={\lambda }_i({\lambda }_i{\alpha }_i)={\lambda }_i^2{\alpha }_i$

Therefore, the eigenvalues of ${\mathbf{A}}^2$ are ${\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,\dots ,{\lambda }_n^2$, and the corresponding eigenvectors are the same as those of $\mathbf{A}$, namely ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$.

2. Diagonalization of $\mathbf{A}$

Given that ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ are mutually different, we know that the corresponding eigenvectors ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ are linearly independent. Let $\mathbf{P}=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$.

Consider ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$:

${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$

$={\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}{\alpha }_1,\dots ,\mathbf{A}{\alpha }_n)$

$={\mathbf{P}}^{-1}({\lambda }_1{\alpha }_1,\dots ,{\lambda }_n{\alpha }_n)$

$=({\lambda }_1{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\lambda }_n{\mathbf{e}}_n)$, where ${\mathbf{e}}_i$ is the $i$-th standard basis vector.

Therefore, ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, which is a diagonal matrix.

3. Eigenvalues and eigenvectors of $\mathbf{B}$

For matrix $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ -2& 3& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, we need to solve the characteristic equation:

$\det (\mathbf{B}-\lambda \mathbf{I})=\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 0& 0\\ -2& 3-\lambda & 2\\ 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2(1-\lambda )=0$

The eigenvalues are ${\lambda }_1=3$ (multiplicity 2) and ${\lambda }_2=1$.

For ${\lambda }_1=3$

$(\mathbf{B}-3\mathbf{I})\mathbf{v}=0$ gives $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 0& 2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)\mathbf{v}=0$

This yields the eigenvector: ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

For ${\lambda }_2=1$

$(\mathbf{B}-\mathbf{I})\mathbf{v}=0$ gives $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -2& 2& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathbf{v}=0$

This yields the eigenvector: ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

4. Calculation of $\delta$

The maximum eigenvalue of $\mathbf{B}$ is $\mu =3$. Given $\gamma =\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, we calculate:

$\delta =(\mathbf{B}-\mu {\mathbf{I}}_3)\gamma$

$=\left(\begin{array}{ccc}3-3& 0& 0\\ -2& 3-3& 2\\ 0& 0& 1-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

5. Calculation of ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}$

We have $\delta =\left(\begin{array}{c}0-20\end{array}\right)$, $\gamma =\left(\begin{array}{c}100\end{array}\right)$, and $\beta =\left(\begin{array}{c}0-11\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Q}& =(\delta ,\gamma ,\beta )\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -2& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\mathbf{Q}}^{-1}& =\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$$

Now we calculate ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}$:

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}& =\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ -2& 3& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -2& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

6. Calculation of ${\mathbf{B}}^m$ using Jordan Canonical Form

From Question 5, we found that:

$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

This matrix is exactly the Jordan canonical form $\mathbf{J}$ that we derived earlier. This means that $\mathbf{Q}$ is equivalent to our $\mathbf{P}$ matrix (up to a possible column permutation).

Therefore, we can rewrite our equation as:

$${\mathbf{B}}^m=\mathbf{Q}{\mathbf{J}}^m{\mathbf{Q}}^{-1}$$

To calculate ${\mathbf{J}}^m$, we use the formula for the power of a Jordan block:

$${\mathbf{J}}^m=\left(\begin{array}{ccc}{3}^m& m{3}^{m-1}& 0\\ 0& 3^m& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

We know $\mathbf{Q}$ and ${\mathbf{Q}}^{-1}$ from Question 5:

$$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -2& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$ $${\mathbf{Q}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

Now, let’s calculate ${\mathbf{B}}^m$:

\begin{align*} \mathbf{B}^m &= \mathbf{Q}\mathbf{J}^m\mathbf{Q}^{-1} \$$2ex] &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^m & m3^{m-1} & 0 \\ 0 & 3^m & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*}

Multiplying these matrices, we get:

$${\mathbf{B}}^m=\left(\begin{array}{ccc}{3}^m& 0& 0\\ -2m\cdot 3^{m-1}& 3^m& 3^m-1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

知识点

特征值特征向量Jordan标准型广义特征向量矩阵幂运算线性变换

难点思路

1. 理解 ${\mathbf{A}}^2$ 的特征值和特征向量与 $\mathbf{A}$ 的关系。
2. 矩阵对角化的条件和过程，特别是当特征值互不相同时的情况。
3. 计算具有重根特征值的矩阵的特征向量。
4. 识别何时需要使用 Jordan 标准型（特征向量不完整时）。
5. 对于重根特征值，寻找广义特征向量。
6. 构造 Jordan 矩阵和变换矩阵 P。
7. 计算 Jordan 块的幂。
8. 进行最终的矩阵乘法以获得 ${\mathbf{B}}^m$。

解题技巧和信息

1. 特征值和特征向量的基本性质：如果 $\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}$，那么 $f(\mathbf{A})\mathbf{v}=f(\lambda )\mathbf{v}$。
2. 矩阵对角化的步骤：找特征值，求特征向量，构造特征向量矩阵。
3. 处理重根特征值时，始终检查是否有完整的线性无关特征向量集。
4. 寻找特征值 $\lambda$ 的广义特征向量 $\mathbf{u}$ 时，解方程 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{u}=\mathbf{v}$，其中 $\mathbf{v}$ 是 $\lambda$ 的特征向量。
5. Jordan 标准型由 Jordan 块组成。对于具有特征值 $\lambda$ 的 2x2 Jordan 块，其 m 次幂为 $\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^m& m{\lambda }^{m-1}\\ 0& {\lambda }^m\end{array}\right)$。
6. Jordan 标准型的变换矩阵 P 由特征向量和广义特征向量组成。
7. 记住公式 ${\mathbf{A}}^m=\mathbf{P}{\mathbf{J}}^m{\mathbf{P}}^{-1}$，其中 $\mathbf{J}$ 是 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准型。
8. 在处理重根特征值时，代数重数和几何重数的差异决定了 Jordan 块的结构。

重点词汇

• eigenvalue 特征值
• eigenvector 特征向量
• diagonalization 对角化
• characteristic equation 特征方程
• multiplicity 重数
• linear transformation 线性变换
• Jordan canonical form Jordan 标准型
• Generalized eigenvector 广义特征向量
• Jordan block Jordan 块

参考资料

1. Gilbert Strang, “Linear Algebra and Its Applications”, 4th Edition, Chapter 6
2. David C. Lay, “Linear Algebra and Its Applications”, 5th Edition, Chapter 5
3. Sheldon Axler, “Linear Algebra Done Right”, 3rd Edition, Chapter 5
4. Peter D. Lax, 《线性代数及其应用》, 高等教育出版社, 第 9 章（Jordan 标准型的高级主题）